NumPy配列ndarrayの下三角行列・上三角行列を抽出・生成（tril, triu, tri）
対角線より上の成分が0である行列を下三角行列、対角線より下の成分が0である行列を上三角行列という。
NumPy配列ndarrayから下三角行列・上三角行列を抽出（取得）するにはnumpy.tril(), numpy.triu()、下三角行列・上三角行列を新たに生成するにはnumpy.tri()を使う。
ここでは以下の内容について説明する。
- NumPy配列
ndarrayから下三角行列を抽出（取得）:numpy.tril() - NumPy配列
ndarrayから上三角行列を抽出（取得）:numpy.triu() - 下三角行列と上三角行列を相互に変換
- 下三角行列・上三角行列を生成:
numpy.tri()
対角行列を生成したり対角成分を抽出したりするにはnumpy.diag()を使う。
numpy.tril()やnumpy.triu()を利用して対称行列を生成することもできる。
- 関連記事: NumPyで対称行列を生成・判定
NumPy配列ndarrayから下三角行列を抽出（取得）: numpy.tril()
numpy.tril()の引数にnumpy.ndarrayを指定すると、対角線より上の成分を0としたnumpy.ndarrayが返される。ビューではなく、元のnumpy.ndarrayとメモリを共有しないコピー。
import numpy as np
a = np.arange(16).reshape(4, 4)
print(a)
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]
# [12 13 14 15]]
print(np.tril(a))
# [[ 0 0 0 0]
# [ 4 5 0 0]
# [ 8 9 10 0]
# [12 13 14 15]]
第二引数kで境界となる対角線の位置を指定可能。正の値だと上側（右側）、負の値だと下側（左側）に移動する。
print(np.tril(a, k=2))
# [[ 0 1 2 0]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]
# [12 13 14 15]]
print(np.tril(a, k=-1))
# [[ 0 0 0 0]
# [ 4 0 0 0]
# [ 8 9 0 0]
# [12 13 14 0]]
正方行列でなくてもOK。考え方は正方行列の場合と同じ。
a = np.arange(12).reshape(3, 4)
print(a)
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]]
print(np.tril(a))
# [[ 0 0 0 0]
# [ 4 5 0 0]
# [ 8 9 10 0]]
print(np.tril(a, k=-1))
# [[0 0 0 0]
# [4 0 0 0]
# [8 9 0 0]]
3次元以上の配列の場合、最後の2つの軸（次元）に対して処理が適用される。
print(np.tril(np.arange(32).reshape(2, 4, 4)))
# [[[ 0 0 0 0]
# [ 4 5 0 0]
# [ 8 9 10 0]
# [12 13 14 15]]
#
# [[16 0 0 0]
# [20 21 0 0]
# [24 25 26 0]
# [28 29 30 31]]]
print(np.tril(np.arange(16).reshape(1, 1, 4, 4)))
# [[[[ 0 0 0 0]
# [ 4 5 0 0]
# [ 8 9 10 0]
# [12 13 14 15]]]]
NumPy配列ndarrayから上三角行列を抽出（取得）: numpy.triu()
numpy.triu()の引数にnumpy.ndarrayを指定すると、対角線より下の成分を0としたnumpy.ndarrayが返される。
a = np.arange(16).reshape(4, 4)
print(a)
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]
# [12 13 14 15]]
print(np.triu(a))
# [[ 0 1 2 3]
# [ 0 5 6 7]
# [ 0 0 10 11]
# [ 0 0 0 15]]
numpy.tril()と同じく第二引数kを指定可能。
print(np.triu(a, k=2))
# [[0 0 2 3]
# [0 0 0 7]
# [0 0 0 0]
# [0 0 0 0]]
print(np.triu(a, k=-1))
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 0 9 10 11]
# [ 0 0 14 15]]
正方行列でない場合や3次元以上の配列の場合もnumpy.tril()と同様。
a = np.arange(12).reshape(3, 4)
print(a)
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]]
print(np.triu(a))
# [[ 0 1 2 3]
# [ 0 5 6 7]
# [ 0 0 10 11]]
print(np.triu(a, k=-1))
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 0 9 10 11]]
print(np.triu(np.arange(16).reshape(1, 1, 4, 4)))
# [[[[ 0 1 2 3]
# [ 0 5 6 7]
# [ 0 0 10 11]
# [ 0 0 0 15]]]]
下三角行列と上三角行列を相互に変換
下三角行列と上三角行列は互いの転置行列なので、Tやtranspose()を使って相互に変換できる。
a_tril = np.tril(np.arange(16).reshape(4, 4))
print(a_tril)
# [[ 0 0 0 0]
# [ 4 5 0 0]
# [ 8 9 10 0]
# [12 13 14 15]]
print(a_tril.T)
# [[ 0 4 8 12]
# [ 0 5 9 13]
# [ 0 0 10 14]
# [ 0 0 0 15]]
print(a_tril.T.T)
# [[ 0 0 0 0]
# [ 4 5 0 0]
# [ 8 9 10 0]
# [12 13 14 15]]
下三角行列・上三角行列を生成: numpy.tri()
numpy.tri()は対角線より上の成分が0、それ以外の成分が1の下三角行列を生成する。
第一引数Nに整数値を指定するとN行N列の正方行列（二次元配列）が生成される。
デフォルトはデータ型dtypeがfloat。
print(np.tri(4))
# [[1. 0. 0. 0.]
# [1. 1. 0. 0.]
# [1. 1. 1. 0.]
# [1. 1. 1. 1.]]
print(type(np.tri(4)))
# <class 'numpy.ndarray'>
print(np.tri(4).dtype)
# float64
データ型は引数dtypeで指定できる。
print(np.tri(4, dtype=int))
# [[1 0 0 0]
# [1 1 0 0]
# [1 1 1 0]
# [1 1 1 1]]
print(np.tri(4, dtype=int).dtype)
# int64
numpy.tril(), numpy.triu()と同様に引数kを指定可能。
print(np.tri(4, k=1))
# [[1. 1. 0. 0.]
# [1. 1. 1. 0.]
# [1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]]
print(np.tri(4, k=-1))
# [[0. 0. 0. 0.]
# [1. 0. 0. 0.]
# [1. 1. 0. 0.]
# [1. 1. 1. 0.]]
第二引数Mを指定するとN行M列となる。
print(np.tri(3, 4))
# [[1. 0. 0. 0.]
# [1. 1. 0. 0.]
# [1. 1. 1. 0.]]
print(np.tri(3, 4, k=-1))
# [[0. 0. 0. 0.]
# [1. 0. 0. 0.]
# [1. 1. 0. 0.]]
上三角行列を生成する関数はない。上三角行列を生成したい場合は下三角行列をTやtranspose()で転置する。
print(np.tri(4).T)
# [[1. 1. 1. 1.]
# [0. 1. 1. 1.]
# [0. 0. 1. 1.]
# [0. 0. 0. 1.]]
あくまでもnumpy.tri()で下三角行列を生成してから転置しているだけなので、引数Mや引数kを指定する際は注意。
print(np.tri(3, 4).T)
# [[1. 1. 1.]
# [0. 1. 1.]
# [0. 0. 1.]
# [0. 0. 0.]]
print(np.tri(4, k=1).T)
# [[1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]
# [0. 1. 1. 1.]
# [0. 0. 1. 1.]]
print(np.tri(4, k=-1).T)
# [[0. 1. 1. 1.]
# [0. 0. 1. 1.]
# [0. 0. 0. 1.]
# [0. 0. 0. 0.]]